عنوان کتاب: تحلیل سازه (مفاهیم پایه و سازه های معین)، ترجمه کتاب راسل چارلز هیبلر
مترجم: دکتر پیمان نرج آبادی فام (عضو هیأت علمی دانشگاه بناب)
تحلیل سازه یکی از مباحث اصلی مهندسی عمران است. مراجع مختلفی در این زمینه وجود داشته و کتاب‌های متفاوتی نیز تألیف و یا ترجمه شده‌اند. کتاب تحلیل سازه (مفاهیم پایه و سازه های معین)، مجموعهای مدون از ترجمه ساماندهی شده کتابی است که با بیان ساده و مثال‌های ملموس خود موفق به جلب توجه ویژه اساتید و دانشجویان مهندسی عمران شده است.
کتاب اصلی دارای ۱۶ فصل است که فصول ۱ و ۲ آن درباره مفاهیم پایه بحث می‌کند، بقیه فصول از فصل ۳ تا فصل ۱۰ به جز از فصل ۷ عملاً به تحلیل سازههای معین می‌پردازند و فصول بعدی به‌علاوه فصل ۷ نیز به سازههای نامعین و مباحث کاربردی مربوط میشود.
از این رو، ترجمه به صورت دو کتاب جداگانه تحت عناوین «مفاهیم پایه و سازههای معین» برای فصول ۱ تا ۱۰ کتاب اصلی به جز از فصل ۷ آن (کتابی که در دست است) و سازههای نامعین و مباحث کاربردی برای سایر فصول ارائه میشود.
ضمن ایجاد انطباق عملی با مراحل آموزشی دوره کارشناسی مهندسی عمران بر اساس سرفصل‌های مصوب دروس تحلیل سازه (۱) و (۲) همچنین سهولت امکان بهره‌مندی از مطالب با ارزش کتاب با وجود حجم بالای آن فراهم آید.
چکیده ای از کتاب:
این فصل تحلیل خرپاهای معین با استفاده از روش گره و روش مقطع ارائه می‌گردد. ابتدا معینی و پایداری یک خرپا و سپس تحلیل سه نوع از خرپاهای صفحه‌ای ساده، مرکب و پیچیده (بغرنج) بررسی می‌گردد. در پایان فصل هم تحلیل خرپای فضایی ارائه می‌گردد.
یک خرپا سازه‌ای است متشکل از اعضایی باریک اندام که در نقاط انتهایی خود به همدیگر متصل می‌شوند. اعضای مورد استفاده در ساخت خرپا شامل اعضای چوبی، میله‌های فلزی، نبشی‌ها یا ناودانی‌ها می‌باشند.
اتصالات گرهی معمولاً به صورت جوشی یا پیچی و به کمک یک صفحهی اتصال متعارف، همانطور که در شکل 3-1 نشان داده شده است، ایجاد می‌شوند. این اتصالات عملاً به صورت مفصلی عمل خواهند کرد. خرپاهای صفحه‌ای در یک صفحه قرار می‌گیرند و اغلب برای نگه داشتن سقفها و پل‌ها بکار می‌روند.
خرپاهای سقفی: خرپاهای سقفی اغلب به عنوان بخشی از قاب یک سازه‌ی صنعتی به کار می‌روند، به مانند خرپایی که در شکل 3-2 نشان داده شده است. در اینجا، بار سقف از طریق مجموعهای از لاپه ها به گره‌های خرپا منتقل میشود. هر خرپای سقفی به همراه ستون‌های تکیه گاهی آن یک خرک نامیده میشود.
به طور عادی، خرپاهای سقفی بوسیله ستون‌های چوبی، فولادی یا بتن مسلح یا دیوارهای بنایی نگه داشته می‌شوند. به منظور حفظ صلبیت خرک و تحمل بارهای افقی باد، مهاربندهای زانویی معمولاً در ستون‌های نگه دارنده استفاده می‌شوند.
فاصله بین پایه‌های مجاور یک دهانه نامیده میشود. فاصلهی اقتصادی میان دو خرک با دهانههای حدود 60 ft (18 m) برابر با مقداری حدود 15 ft (4.6 m) و برای دهانههای حدود 100 ft (30 m) برابر با مقداری حدود 20 ft (6.1 m) میباشد. برای اتصال خرپاها در فاصلهی میان دو خرک نیز معمولاً از مهاربندهای قطری استفاده میشود.
نوع خرپا برای پوشش سقفها معمولاً بر اساس دهانه، شیب و مصالح آنها انتخاب میشود. برخی از انواع متداول خرپاهای کاربردی در شکل 3-3 نشان داده شده‌اند. به طور مشخص، خرپای قیچی نشان داده شده در شکل 3-3(الف) می‌تواند برای دهانههای کوتاهی که لازم است فضای روی سقف آزاد بماند استفاده شود. خرپاهای Howe و Pratt در شکل های 3-3(ب) و 3-3(پ) برای سقف‌های با دهانههای متوسط حدود 60 ft (18 m) تا 100 ft (30 m) استفاده می‌شوند.
اگر برای نگه داشتن سقف به دهانههای بزرگتری نیاز باشد، خرپای Fan یا خرپای Fink شکل‌های 3-3(ت) و 3-3(ث) می‌توانند مورد استفاده قرار گیرند. این خرپاها را می‌توان با یک بال تحتانی خیز‌دار ساخت همانطور که در شکل 3-3(ج) نشان داده شده است. اگر یک سقف صاف یا نسبتاً صاف انتخاب گردد اغلب خرپای Warren شکل 3-3(چ) مورد استفاده قرار می‌گیرد.
همچنین، خرپاهای Howe و Pratt را می‌توان برای استفاده در سقف‌های صاف تغییر داد. خرپای دندان ارّه‌ای شکل 3-3(ح) در جاهایی استفاده میشود که فاصله گذاری ستون، امکان پذیر نبوده و روشنایی یکنواخت اهمیت داشته باشد. کارگاه نساجی مثالی از این قبیل است. خرپای قوسی شکل 3-3(خ) برخی مواقع برای گاراژها و آشیانه‌های کوچک هواپیما انتخاب میشود و خرپای قوسی سه مفصلهی شکل 3-3(د) نیز اگرچه نسبتاً هزینه بر میباشد.
خرپاهای پل: اعضای اصلی یک پل خرپایی در شکل 3-4 نشان داده شده است. در اینجا مشاهده میشود که بار روی عرشه ابتدا به تیرهای طولی و سپس به تیرهای کف و در نهایت به گره‌های دو خرپای نگهدارنده جانبی منتقل میشود. یال‌های بالا و پایین این خرپاهای جانبی به مهاربندی‌های جانبی بالا و پایین وصل می‌شوند که برای تحمل بارهای ناشی از نیروی باد و نیروی جانبی ناشی از حرکت وسایل نقلیه بر روی پل بکار می‌روند.
پایداری بیشتر توسط مهاربندهای قابی و عرضی تأمین میشود. مثل آنچه در بیشتر خرپاهای با دهانههای طولانی انجام میشود، برای اجازه دادن به تغییرات حرارتی معمولاً یک غلتک در یک انتهای پل خرپایی ایجاد میشود.
تعدادی از انواع رایج خرپاهای پل که امروزه برای تک دهانه‌ها بکار می‌روند در شکل3-5 نشان داده شده‌اند. مخصوصاً خرپاهای Pratt، Howe و Warren معمولاً برای دهانههای با طول بیش از 200 ft (61 m) استفاده می‌شوند. متداول‌ترین حالت، خرپای Warren (به همراه عمود‌ها) میباشد (شکل 3-5(ج)). برای دهانههای بزرگتر، یک خرپا با بال بالایی چند ضلعی (مانند خرپای Parker در شکل 3-5(د)) برای صرفه جویی در مصالح استفاده میشود.
خرپای Warren به همراه عمودی‌ها را نیز می‌توان با این روش برای دهانههای بزرگ تا 300 ft (91 m) ساخت. بیشترین صرفه جویی در مصالح وقتی به دست می‌آید که اعضای مورب با افق زوایای 45 و 60 درجه داشته باشند. اگر این قانون برقرار باشد، در این صورت عمق خرپا برای دهانههای بزرگتر از 300 ft (91 m) باید افزایش یابد که به دنبال آن طول پانل‌ها نیز افزایش خواهد یافت.
این کار منجر به ایجاد عرشه سنگین می‌گردد، و برای تحمل وزن عرشه در محدوده‌های قابل قبول، خرپاهای چند قسمتی ایجاد شده‌اند. نمونه‌هایی شاخص از این خرپاها شامل خرپاهای Warren و Baltimore در شکل 3-5(ه) و 3-5(و) می‌باشند. نهایتاً، خرپای K نشان داده شده در شکل3-5(ز) نیز می‌تواند به جای خرپای چند قسمتی استفاده گردد، زیرا این نوع خرپا نیز همان کار مورد نظر را انجام می‌دهد
اعضا توسط پرچهای صاف و صیقلی به هم وصل می‌شوند. در مواردی که اتصالات پیچی یا جوشی استفاده می‌شوند نیز این فرض با توجه به تقارب خطوط مرکزی اعضا در یک نقطه (گره) قابل قبول است. البته بدیهی است که اتصالات واقعی مقداری صلبیت به گره می‌بخشند که موجب خمش اعضا میشود. تنش خمشی ایجاد شده در اعضا را تنش ثانویه می‌نامیم، در صورتی که تنش در اعضای خرپا با اتصالات مفصلی ایدهآل پرچی به عنوان تنش اصلی شناخته میشود.
اگرچه تحلیل تنش ثانویه‌ی برای یک خرپا به ندرت لازم میشود، به راحتی با رایانه‌ها قابل انجام است (در کتاب سازههای نامعین و مباحث کاربردی خواهیم دید). البته برای برخی خرپاها، این تنش‌ها ممکن است زیاد باشند. فرضیات طراحي: براي طراحي اتصالات و اعضاي يک خرپا، ابتدا لازم است نيروي ايجاد شده در هر عضو وقتي که خرپا تحت يک بارگذاري معین است تعیین گردد. به اين منظور، دو فرضيهی اساسي براي مدل تحلیلی خرپا وجود دارد.
- همه‌ی بارگذاری‌ها در گره‌ها اعمال می‌شوند. در اکثر مواقع، مانند خرپاهای سقف و پل، این فرضیه صحیح است. در تحلیل معمولاً از وزن اعضا چشم پوشی میشود زیرا نیروی تحمل شده توسط اعضا در مقایسه با وزن آنها زیاد میباشد. اگر در این تحلیل وزن اعضا نیز در نظر گرفته شود، به صورت نیرویی عمودی اعمال می‌گردد طوری که نصف مقدار آن به هر یک از انتهاهای عضو وارد میشود.
بر اساس این دو فرض، هر عضو خرپا به عنوان عضوی با نیروی محوری عمل می‌کند و از این رو نیروهای وارد بر هر انتهای عضو باید در راستای عضو قرار گیرند. اگر چنانچه در شکل 3-6(الف) نشان داده میشود نیرو موجب افزایش طول عضو شود، آن نیرو یک نیروی کششی (T) است و اگر نیرو چنانچه در شکل 3-6(ب) نشان داده میشود موجب کاهش طول عضو گردد.
این نیرو یک نیروی فشاری (C) میباشد. در طراحی واقعی یک خرپا، مهم است که فشاری یا کششی بودن نیروی وارده تعیین گردد. اغلب اوقات، به دلیل کمانش یا ناپایداری ناگهانی، اعضای فشاری باید قویتر از اعضای کششی ساخته شوند.
قبل از شروع تحلیل خرپا، مهم است تا خرپا را به عنوان ساده، مرکب، یا پیچیده طبقه بندی کرده و سپس معینی و پایداری آن را تعیین کنیم.
خرپای ساده: برای جلوگیری از خرابی، چهار چوب یک خرپا باید صلب باشد. به وضوح، قاب چهار میله‌ای ABCD در شکل 3-7 فرو میریزد، مگر اینکه یک عضو مورب مانند AC به تکیه‌گاه آن اضافه شود. ساده‌ترین شکل صلب یا پایدار خرپایی یک مثلث است. درنتیجه، خرپای ساده با شکل مثلثی مانند ABC در شکل 3-8 ایجاد و با اتصال اعضای دیگر همانند دو عضو AD و BD با یک گره مشترک گسترش می‌یابد. چنانچه دیده میشود، هر قسمت دو عضوی اضافه شده روی خرپا شامل اضافه شدن یک گره نیز خواهد بود.
یک نمونه از خرپای ساده در شکل 3-9 نشان داده شده است، که عضو مثلثی اولیه ABC پایدار بوده و بقیهی گره‌های D، E و F به ترتیب الفبا بوجود آمده‌اند. برای این روش از ساخت خرپا، مهم است بدانیم که خرپاهای ساده لزوماً همیشه از مثلث‌ها ساخته نمی‌شوند. یک مثال در شکل 3-10 نشان داده شده است که با مثلث ABC شروع میشود، میله‌های CD و AD گره D را به وجود میآورند و میله‌های BE و DE نیز گره E را ایجاد می‌کنند.
خرپای مرکب: خرپای مرکب از اتصال یک یا چند خرپای ساده به هم تشکیل می‌شوند. این نوع خرپا غالباً برای تحمل بارهای وارده بر دهانههای بزرگ استفاده میشود، زیرا ایجاد یک خرپای مرکب سبک‌تر نسبت به استفاده از یک خرپای سادهی سنگین‌تر هزینه کمتری را دارد
سه روش برای اتصال خرپاهای ساده به هم برای تشکیل خرپای مرکب وجود دارد. خرپاها ممکن است با یک میله و گره مشترک به همدیگر وصل شوند. یک نمونه در شکل 3-11(الف) ارائه شده است، که خرپای پر رنگ شدهی ABC با این روش به خرپای پر رنگ شدهی CDE وصل شده است. خرپاها ممکن است با سه میله به هم وصل شوند.
مانند خرپای پر رنگ شدهی ABC در شکل 3-11(ب) که به خرپای بزرگتر DEF وصل شده است. در نهایت نیز، ممکن است اعضای خرپای بزرگ ساده که خرپای اصلی (اولیه) نامیده میشود توسط خرپاهای ساده دیگر جایگزین شده باشند که به آنها خرپاهای فرعی (ثانویه) گفته میشود.
یک مثال در شکل 3-11(ج) نشان داده شده است که اعضای خط چین خرپای اصلی ABCDE توسط خرپاهای فرعی پر رنگ شده جایگزین شده‌اند. اگر این خرپا بارهای سقفی را تحمل کند در این صورت استفاده از خرپاهای فرعی ممکن است اقتصادی‌تر باشد، زیرا اعضای خط چین ممکن است در معرض خمش بیش از اندازه قرار بگیرند، در حالیکه خرپاهای فرعی می‌توانند بار را بهتر منتقل کنند.
خرپاي پيچيده: خرپای پیچیده (که خرپای بغرنج نیز نامیده میشود) خرپایی است که نمی‌توان آن را به عنوان خرپاهای ساده و یا مرکب طبقه‌بندی کرد. خرپای شکل 3-12 یک نمونه از آن است.
معيني: برای هر مسأله‌اي در تحليل خرپا، بايد دانست که تعداد کل مجهولات شامل تعداد نيروهاي موجود در ميلههاي خرپا (b) و تعداد کل واکنش‌های تکيه‌گاهي خارجي (r) است. از آنجايي که تماعي اعضاي خرپا، اعضاي مستقيم محوري می‌باشند که در يک صفحه قرار گرفته‌اند، سيستم نيرويي اعمالی بر روي هر گره به صورت صفحه‌ای و همرس میباشد.
به دنبال آن، تعادل دوراني يا لنگر خود به خود در گره (يا مفصل) برقرار میشود و فقط لازم است تا شروط و برقرار باشند تا تعادل حرکتی يا نيرويي تضمين گردد. بنابراين، تنها دو معادلهی تعادل براي هر گره نوشته میشود. اگر تعداد گره‌ها برابر j باشد، تعداد معادلات تعادل براي حل برابر 2j است. معيني هر خرپاي ساده، مرکب يا پيچيدهاي با مقايسهی سادهی تعداد کل مجهولات (b+r) با تعداد کل معادلات تعادل موجود مشخص می‌گردد:
به طور مشخص، درجه نامعینی از تفاضل حاصل میشود.
پايداري: اگر باشد، در اين صورت خرپا ناپايدار خواهد بود و فروخواهد ريخت زيرا تعداد ميلهها يا تکیه‌گاه‌‌ها براي ساختن تمامي گره‌ها کافی نخواهد بود. همچنين، هر خرپای ناپایدار می‌تواند معین یا نامعین استاتیکی باشد و پایداری آن با بررسی یا تحلیل تعیین می‌گردد.
پايداري خارجی: همانطور که در بخش 2-4 ذکر شد، يک سازه (يا خرپا) ناپايدار خارجی است اگر تمامي واکنش‌های آن همرس يا موازي باشند. براي مثال، دو خرپا در شکل 3-13 ناپايدار خارجي می‌باشند زيرا واکنش‌های تکیه‌گاه‌ي داراي خطوط اثر موازي يا همرس می‌باشند.
پايداري داخلي: پايداري داخلي يک خرپا را می‌توان با بررسی دقيق ترتيب اعضاي آن مشخص کرد. اگر بتوان مشخص کرد که يک گره ثابت خواهد ماند و به صورت يک “جسم صلب” نسبت به ساير گره‌ها حرکت نخواهد کرد، در اين صورت خرپا پایدار خواهد بود. در نظر داشته باشيد که يک خرپاي ساده هميشه پايدار داخلي خواهد بود.
زيرا طبيعت ساخت آن نيازمند شروع از يک عضو مثلثي اصلي و افزودن اعضاي “صلب” متوالی میباشد که هر کدام داراي دو عضو اضافي و يک گره هستند. خرپاي شکل 3-14 اين نوع از ساخت را نشان می‌دهد که با عضو مثلثي سايه‌دار ABC شروع و به ترتیب گره‌های پياپي D، E، F، G، H اضافه شده‌اند.
اگر یک خرپا به نحوی ساخته شود که گره‌های آن در موقعیت ثابت باقی نماند، در این صورت ناپایدار بوده یا دارای یک “شکل بحرانی” خواهد بود. نمونه واضح این در شکل 3-15 نشان داده شده است، که مشاهده می‌گردد هیچ قید و گیرداری بین گره‌های C و F یا B و E وجود ندارد، پس خرپا تحت بار فرو خواهد ریخت.
برای تعیین پایداری داخلی یک خرپای مرکب، لازم است روش اتصال خرپاهای ساده به هم مشخص گردد. برای مثال، خرپای مرکب در شکل 3-16 ناپایدار میباشد زیرا خرپای ساده داخلی ABC به خرپای ساده بیرونی DEF با استفاده از میله‌های AD، BE و CF وصل شده است که در نقطهی O همرس می‌باشند. بنابراین خرپای ABC با اعمال یک بار خارجی به گره‌های A، B یا C اندکی دوران خواهد داشت.
ناپایداری هر نوع خرپا، ساده، مرکب یا پیچیده، همچنین ممکن است با استفاده از یک کامپیوتر برای حل همزمان معادلات j2 نوشته شده برای تمامی گره‌های خرپا تعیین گردد. اگر نتایج متناقضی به دست آید، در این صورت خرپا ناپایدار بوده یا دارای شکل بحرانی میباشد.
اگر تحلیل کامپیوتری انجام نشود، در این صورت روش‌هایی که قبلا توضیح داده شده‌اند را می‌توان برای تعیین پایداری خرپا مورد استفاده قرار داد. به طور خلاصه، اگر خرپا b عدد میله، r واکنش تکیه‌گاهی و j گره داشته باشد در این صورت اگر یک خرپا به عنوان خرپای پیچیده شناخته شده شود.
در این صورت شاید نتوان با بررسی ساده پایداری آن را بیان کرد. برای مثال، فقط با تحلیل بحث شده در بخش 3-7 می‌توان نشان داد که خرپای پیچیده در شکل 3-17 ناپایدار بوده یا دارای یک “شکل بحرانی” است اگر چنانچه باشد. اگر باشد، در این صورت خرپای ما پایدار است.
به هر حال، به خاطر داشته باشید اگر یک خرپا ناپایدار باشد مهم نیست که از لحاظ استاتیکی معین یا نامعین باشد چراکه باید از کاربرد خرپای ناپایدار در عمل خودداری گردد.
روش گره ها
اگر یک خرپا در تعادل باشد، در اینصورت هر کدام از گره‌های آن نیز باید در تعادل باشند. از این رو، روش گره بر اساس تأمین شرایط تعادل و برای نیروهای وارد بر مفصل در هر گره از خرپا تعریف میشود.
به هنگام استفاده از روش گره، لازم است تا نمودار جسم آزاد گره قبل از اعمال معادلات تعادل رسم گردد. به یاد داریم که خط اثر نیروی هر عضو با هندسه‌ی خود خرپا تعیین میشود، زیرا نیروی هر عضو از محور آن عبور می‌کند. به عنوان یک مثال، گره B از خرپای نشان داده شده در شکل 3-19(الف) را در نظر بگیرید.
با توجه به نمودار جسم آزاد شکل 3-19(ب)، تنها مجهول‌ها مقادیر نیروهای اعضای BA و BC می باشند. همانطور که نشان داده شده است، نیروی در مفصل کششی است، که نشان می‌دهد عضو BA تحت کشش قرار دارد، در حالیکه نیروی فشاری است و عضو BA تحت فشار قرار دارد.
این نتایج به وضوح با استفاده از روش مقطع زنی و جدا کردن گره به همراه قطعات کوچکی از اعضای متصل به آن در شکل 3-19(ج) نشان داده شده‌اند. در نظر داشته باشید که فشار یا کشش در این قطعات کوچک نشان می‌دهد که عضو تحت فشار یا کشش است.
در همه‌ی موارد، تحلیل گرهی باید از گرهی شروع شود که دارای حداقل یک نیروی معلوم و حداکثر دو نیروی مجهول همانند شکل 3-19(ب) باشد. در این روش، استفاده از و دو معادلهی جبری به دست می‌دهد که با حل آنها می‌توان دو مجهول را تعیین کرد. هنگام استفاده از این معادلات، جهت صحیح یک نیروی مجهول می‌تواند با استفاده از یکی از دو روش زیر مشخص گردد:
- همیشه فرض کنید که نیروهای مجهول در نمودار جسم آزاد گره‌ها به صورت کششی بر روی گره عمل می‌کنند به عبارت دیگر، مفصل را “میکشند”. اگر این کار انجام شود، در این صورت حل عددی معادلات تعادل مقادیری مثبت را برای اعضای تحت کشش و مقادیر منفی را برای اعضای تحت فشار به دست خواهد داد. وقتی که یک نیروی مجهول به دست آمد، از مقدار و جهت صحیح آن(T یا C) در نمودارهای جسم آزاد گره‌های بعد استفاده گردد.
جهت صحیح یک نیروی مجهول را می‌توان در بسیاری از موارد، با بررسی تعیین کرد. برای مثال، در شکل 3-19(ب)، باید بر روی مفصل به صورت فشاری باشد زیرا مؤلفهی افقی آن، باید نیروی N 500 باشد .
همچنین، نیرویی کششی است زیرا باعث تعادل مؤلفهی قائم میشود . در برخی موارد پیچیده‌تر، جهت نیروی مجهول را می‌توان به صورت فرضی در نظر گرفت سپس بعد از اعمال معادلات تعادل، جهت فرضی را می‌توان اصلاح کرد.
پاسخ مثبت نشان می‌دهد جهت فرضی صحیح بوده، در حالی که پاسخ منفی نشان می‌دهد که جهت نشان داده شده بر روی نمودار جسم آزاد باید برعکس شود. این روشی است که در حل مسائل نمونه‌ی زیر از آن استفاده میشود.
